114
II. Projektive Geometrie.
dann und im allgemeinen nur dann, wenn der Pascalsche Satz gilt
(s. Fig.).*)
Beweis: Sei
A
E,
(E₁ P₁AA₁) = (E, P₂ A¸ A2)
1
1 0
2 2 0
(E₁ Q₁AA₁) = (E, Q₂ A¸A,) =
E,
2
P
Q2
=
R
2 0
2
(Q₂ R₂'A A₂)
(P₂R₂ A A₂),
2 2 0
also:
R₂
A
E
P (E₁ P₁A。A₁)
A₂
(E, Q₁44₁)
= (E. RAA₂)
2
(E₁ Q₁ Ao A₁)
(EPAA)
(ERA A).
—
Ist R₂ = R₂, so gilt
für die zwei Punkt-
tripel E₁, P, Q, und
E=([P₁P₂][ Q1 Q2]),
P=([E, P₂][Q₁ R₂]),
2
Q=([E₁ Q₂] [P₁R₂])
der Pascalsche Satz,
denn es liegen die
drei Punkte
R₂
P=([EP][EP]),
Q₂ = ([EQ₁] [E, Q1),
Q2
=
= ([P₁ Q] [ P Q₁])
auf der Geraden
[Ao Ag].
Ist aber R, R₂',
so gilt derselbe nicht,
denn es wird [44]
von [PQJim Punkte
Ra, von [P] im Punkte R R geschnitten.
*) In der v. Staudtschen Wurfrechnung (1. c. II [1857] p. 166 ff.; s. auch
Lüroth, Gött. Nachr. 1873 p. 767, Math. Ann. 8 [1875] p. 145; Sturm, Math.
Ann. 9 [1876] p. 333; H. Pfaff, Neuere Geometrie [1867]) wird der Pascalsche