112
II. Projektive Geometrie.
also auch
andererseits
(P'Q'øA') = (P'''Q″ A。A″),
(P" Q″øA″) = (P""' Q″" A。A”),
(P'Q'¸Ã')
(P"Q″øA″)
d. h.
im Sinne von 116.
118. Satz: Nimmt man auf [ü₁] und [44] die von A,
A₁, A, verschiedenen Punkte E1, E2 an, so existieren stets eindeutig
bestimmte Punkte P, auf
[441], P₂ auf [44], so
daß
2
P
und setzt man also
P
=
E
A
2 2
(P₁E₁¸Ã₁) = (P₂E‚½) ·
einem beliebig gegebenen
Wurf (PQAA) gleich sind.
Beweis: Es ist A wenig-
stens von einem der beiden
Punkte A₁, A verschieden.
Ist z. B. A A₁, dann ist
P₁
-
([A。4₁] [P,
0
und dieser Punkt ist eindeutig bestimmt (s. Fig.).
119. Definition: Das Produkt der beiden Würfe
(Е₁Р₁₁₁) und (E₂ Q₂ A A₂) = (P₁ R₁ ¸Ã₁)
1 0
1
wird durch die Festsetzung definiert:
(Е₁ Р₁ ¸Â₁) · (P₁R₁¸Â₁) = (Ę R₁ АA₁)
(s. Fig. S. 113). Diese Definition ist offenbar unabhängig von der
Wahl von E; aber auch von der Wahl von E₁, denn ist
(E₁ P₁AA₁) = (S½ E₂ A¸ Â)
0
([4₁4] [QE,])),
(S₂ E, A A₂) · (E₂ Q₂ A, A₂) = (S₂ Q2 A¸ A₂),
2
so ist dies unabhängig von E, und in der Tat:
(S₂ Q₂ A。 A₂) = (E, R₁ AA₁)
0
(nach 114).
120. Satz: Die Multiplikation 119 der Würfe ist assoziativ.
Beweis: Es ist
(PQAA,)(QRA, A₁)) (RSA, A₁)=(PRøÃ₁) (RSøÃ₁)=(PSø ø)