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II. Projektive Geometrie.
ist.
Ist dagegen für irgend zwei Wurzeln immer entweder
1
1
xy-1-0
У
xy+yx
P
oder
P'
so folgt ebenso
yx.
112. Satz: Der Pascalsche Satz ist unabhängig von den Grund-
sätzen der Verknüpfung und in der Ebene außerdem vom Desargues-
schen Satze.
xy
X
=
Beweis: Es gibt Nicht-Pascalsche Geometrien in einem Raume
und in einer Desarguesschen Ebene, nämlich (110) Koordinaten-
Geometrien in Zahlensystemen mit nichtkommutativer Multiplikation.
113. Definition: Unter einem Wurf*) werde im folgenden
ein Quadrupel von vier Punkten (PQAA) einer Geraden verstanden,
deren dritter in einem
fest gegebenen Punkte
Ao, deren vierter auf
einer fest gegebenen Ge-
raden [A'A"]liegt, welche
nicht durch A, geht.
114. Definition:
Zwei Würfe (PQAA),
(PQAA) zweier Ge-
raden heißen gleich (=),
wenn und nur wenn Pund
P' mit ([AA"] [QQ'])
in einer Geraden liegen
(s. Fig.). Diese Definition
ist zulässig, da der Satz
besteht:
-
LA
0,
115. Satz: Sind zwei Würfe zweier Geraden einem dritten gleich,
so sind sie einander gleich (s. Fig.).
Beweis: Ist
(P'Q'AA') = (PQA,A) und (P" Q″ A¸A″) = (PQA。4),
-
=
so ergibt der Desarguessche Satz für die Dreiecke PP'P" und QQ'Q",
daß ([P' P"], [Q' Q']) auf der Geraden
[([PP']), [QQ']), ([PP″], [QQ″])] = [A′ A″]
*) von Staudt, Beiträge zur Geometrie der Lage. I (Nürnberg 1856) p. 15.