104
II. Projektive Geometrie.
101. Satz: Der erste Involutionssatz (96) und der ebene De-
sarguessche Satz sind gleichwertig; jeder ist eine Folge des andern.
Beweis: Erstens folgt aus dem Involutionssatz der Desargues-
sche Satz. Denn gehen [AA], [BB], [CC'] durch den Punkt 0,
so sind auf der Geraden = [([AC], [A'C']), ([BC], [B'C'])] in
&
Involution einerseits die Punkte:
(G, [BC]), (G, [AB]),
(G, [04]), (G, [OB],
(G, [CA],
(, [OC]),
andererseits die Punkte:
(G, [BC′]),
(G, [OA']),
(G, [A′B]),
(G, [OB)],
also ist (, [CA]) = (&, [C′A′]), da die Involutionen in ihren fünf
übrigen Punkten übereinstimmen.
(G, [C'A′]),
(G, [OC′]);
Zweitens folgt aus dem Desarguesschen Satz der erste Invo-
lutionssatz. In der Figur von 94 nehme man einen beliebigen Punkt
T₁ und X, beliebig auf [A'T₁] und konstruiere:
"
=
Y₁ = ([BT], [CX₁], Z₁ = ([A Y₁], [BX₁]), C= [Z₁ T₁]);
so soll C C' erwiesen werden. Man kann den Beweis auf den
Fall beschränken, daß die ganze Figur in einer Ebene E = {XYZ}
liegt, da man sonst, nach Annahme eines beliebigen Punktes S außer-
halb E und {X₁, Y₁, Z₁}, statt X₁, Y₁, Z₁, T₁ nur die Punkte
1
(E, [SX,]), (E, [S Y₁]), (E, [SZ₁]), (E, [S7])
einzuführen braucht.
Die Schnittpunkte A, B, C entsprechender Seiten der beiden
Dreiecke X, Y, Z und X, Y, Z₁ liegen auf einer Geraden &; dem-
nach gehen [XX₁], [YY₁], [ZZ] durch einen Punkt 0=([XX₁],
[YY₁]). Dasselbe gilt für die Dreiecke X, Y, T und X₁, Y₁,
Ꭲ ;
demnach geht [TT] durch denselben Punkt 0. Also gehen die
Verbindungslinien entsprechender Ecken der Dreiecke Y, Z, T und
Y₁, Z₁, T₁ durch einen Punkt 0; also liegen deren Schnittpunkte
entsprechender Seiten:
([YZ], [Y₁Z,₁]) = A, ([YT], [Y₁T₁]) = B′, ([ZT], [Z₁T₁])
auf einer Geraden, d. h. die Geraden [ZT] und [Z₁T] schneiden die
Gerade [AB] = & in demselben Punkte C C'.
102. Satz: Für A = A', B = B' geht die Involution (ABC)
in die Harmonie der vier Punkte A, B, C, C' über.
A'B'C'
=