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II. Projektive Geometrie.
bar keine Lösung für x, y, z zu.
Existiert aber eine solche Lösung
x, y, z, ist also l'+yl" + "" 0, so ist auch x+kxo, y+kyo,
z+kz。 für jeden Wert von k eine Lösung der Gleichungen, wenn
Xo, Yo, o eine Lösung von zweien, also auch der dritten der Glei-
chungen ist:
XC""
-
x + yon' + 805' 0
=
x。§” +yon” + 05″
x。 §'''+yon”” + ≈。5″= 0.
79. Definition: Durch die drei Gleichungen des Satzes 78
werden jedem Punkte (x, y, z) die neuen Koordinaten x, y, z eindeutig
zugeordnet. Diesen Übergang von den alten zu den neuen Koordi-
naten bezeichnet man als „Transformation" der Koordinaten.
80. Satz: Durch Koordinatentransformation wird die Geometrie
der Punkte (x, y, z) auf die der Punkte (x, y, z) kollinear abgebildet.
Beweis: Die Eindeutigkeit der Abbildung folgt aus 78. Ferner
entsprechen den drei in einer Geraden liegenden Punkten
(x', y', z′), (x", y', z′′), (λ′ x′ +λ″ x′", x'y' + X″ y″, X' z'′ + X″ 2″)
die drei Punkte
welche in einer Geraden liegen, weil
――
=
-
0
(x', y', z'), (x", y', z′′), (x''', y''', z″''),
(X′ x′ + X″ x´´) §′ + (x'y' + λ″ y″) r' + (2′ z′ + 2″ 2″) 5′
a′ (x' §′ + y'n' + z'′ 5′) + a″ (x″ §'′ + y'n' + z″ 5') = x' x' + 2″ x″
und ebenso
"/
ÿ'"' — λ'ÿ' + λ″ÿ″
=
7''' = X' 7' + 2″ 7″
ist. Dasselbe gilt umgekehrt, da sich (nach 78) x, y, z durch x, y, z
vermittelst eines Gleichungssystems derselben Form ausdrücken lassen.
81. Aufgabe: Sind P= (x, y, z), P′ = (x', y',≈′), P″=(x″,y″,z″),
P'" = (x", y'""', z'") vier beliebige Punkte, von denen keine drei in
einer Geraden liegen, so folgt aus den Axiomen die Existenz von
Geraden, welche durch keinen der vier Punkte gehen; z. B. ist
6 = [([PP′], [P″ P'"']), (PP′′], [P′P""]] eine solche. Man soll die
Koordinaten irgendeiner solchen Geraden angeben.
Auflösung: Man kann z. B. die Koordinaten der Geraden & aus-
rechnen, oder man kann wie folgt verfahren. Da P′, P″, P'"' nicht