Art. 70-73.
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71. Satz: Sind (x', y', z′, t'), (x″, y″, z″, t′′), (x″, y'", z″, t'"')
drei nicht in einer Geraden liegende Punkte einer Ebene, so ist in
(2′ x′ + 2″ x″ + 2″"x"", x'y' + λ″y'' + 2″"y", X′z′ + 2″ 2″ + 2″"' 2'"',
x'ť + x" ť" + x""' t'""')
für beliebige Werte von 2′, 2", 2"", die nicht zugleich Null sind,
stets ein Punkt und für geeignete Werte von 2′, 2", 2"" jeder be-
liebige Punkt (x, y, z, t) der Ebene enthalten.
Beweis: Ist (x, y, z, t) der Schnittpunkt der beiden Geraden
[(x', y', z', t'), (x', y″, z″, t'')] und [(x, y, z, t), (x''', y'"', '"', t'"')], so hat
man den Satz 69 einerseits auf die drei Punkte
(x, y, z, t), (x"", y'"', z", t'"''), (x, y, z, t),
andrerseits auf die drei Punkte
(x, ÿ, z, t), (x', y', z, t), (x", y″, z″, ť′′)
anzuwenden und die Zahlen x, y, z, t zu eliminieren, um den Satz 71
zu erhalten.
72. Satz: Sind (§', n', E', x'}, {E", n'"', {'', t"}, {§'""', '""', {'"'"', t'"' }
drei nicht durch eine Gerade gehende Ebenen eines Punktes, so ist in
{ §' l'′ + §'' l'"' + §'''l'"', n'l' + n″ l′′+n'"'l'"',
$7+5″T+SUV”, tí? +
für beliebige Werte von l', l″, l'", die nicht zugleich Null sind, stets
eine Ebene und für geeignete Werte von l', '', '" jede beliebige Ebene
des Punktes enthalten.
Beweis analog wie zu 71, oder man folgert den Satz 72 aus
71 vermittelst des Dualitätsprinzips.
73. Satz: Sind (x', y', z′, t), (x″, y″, ż″, t''), (x''', y'"', z″'', ť'),
(xIV, IV, IV, IV) vier nicht in einer Ebene liegende Punkte des Raumes
der sämtlichen Punkte (x, y, z, t), so ist in
(λ′ x′ + λ″ x″ + λ″” x'" + 2¹V x¹V, x'y' + X″ y″ + X″" y'"' + λIV y¹V,
X′ z′ + X″ 2″ + X'″ 2″" + λIV IV, λ't' + x″ t'' + a'""' t'""' + 2TV IV)
für beliebige Werte von 2′, 2", 2"", λIV, die nicht zugleich Null sind,
stets ein Punkt und für geeignete Werte von 2, 2", 2", 2IV jeder be-
liebige Punkt (x, y, z, t) des Raumes enthalten.
Beweis: Ist (x, y, z, t) der Schnittpunkt der Ebene
{(x', y', z', t'), (x", y″, z″, t''), (x", y'"', z″, ť''')}
mit der Geraden
[(xIV, ylv, zIV, tIV), (x, y, z, t)],