78
II. Projektive Geometrie.
{§", n", ", t″) zwei verschiedene Ebenen, so geht offenbar durch.
ihre Schnittgerade auch die Ebene {§'l' + "'l'', n'l' + n'"'l'"', E' l'′ + 5″V',
t'l' + t″l"}, wenn l', l" zwei beliebige Zahlen sind, die nicht beide
verschwinden. Jede Ebene der Schnittgeraden ist hierin enthalten
(s. u.).
Zwei verschiedene Punkte (x', y', z′, t'), (x″, y″, z″, t'') bestimmen
die eine Gerade, Gesamtheit der Punkte:
(2′ x′ + 2″ x″, x'y' + X″ y″, X' z'′ + 2″ z″, x′ ť′ + x″ t').
Durch einen Punkt (x, y, z, t) gehen alle Ebenen [§, 1, 5, τ], für
welche
ist; durch eine Gerade gehen alle Ebenen
{§'l'′ + §″ l″, n'l' + n'' l'"', ¿'l′ + ¿″'l', x' l'′ + t″ l″ } .
Um die gemeinsamen Ebenen von Punkt und Gerade zu bestimmen,
hat man l', l″ gemäß der Gleichung:
x (§'l' + §''l') + y(n'l′ + n″l'') + 2 (5′'l'′ + ¿''l') + t (x'l' + x″l') = 0
τ
oder
x § + yn + z8+ tr = 0
(x§' + yn' + z§' + tɩ')l′ + (x§" + yn″ + z5″ + tx″)l″′ = 0
zu ermitteln.
Verschwinden die beiden Koeffizienten:
∞'
x & + yn + z §' + tx'
x§″ +yn″ + z¿" + tṛ”,
d. h. liegt der Punkt
auf der Geraden, so bleiben l', l' unbestimmt,
d. h. jede Ebene der Geraden geht durch den Punkt; verschwindet
wenigstens eine der Größen w', wo",
z. B. wo", nicht, so erhält man
1
"I
GO
W
"
=
=
で
​o'l′ und {
W
als einzige gemeinsame Ebene.
Daraus folgt ferner, daß drei verschiedene Punkte entweder eine
einzige Ebene oder eine Gerade gemein haben.
Demnach bestimmen zwei verschiedene Geraden eines Punktes
eine Ebene, und ebenso zwei verschiedene Geraden einer Ebene einen
Punkt.
"
ૐ'
n'
{' — ∞',
0', 1' — 11 00
œ',
""
W
-
{- 50', t' - 10'}
Ο
ω
69. Satz: Sind (x', y', z, t), (x", y″, z″, t′′) zwei verschiedene
Punkte der Schnittgeraden der beiden verschiedenen Ebenen { §', n', ', ' },
(", ",", "), so ist in (2x+2"x", x'y' + λ"y", X' z' + 2″ z″, x' ť′ + x″ť'')
für beliebige Werte von 2', 2", die nicht beide Null sind, stets ein
Punkt und für geeignete Werte von 2′, 2″ jeder Punkt (x, y, z, t) der
Geraden enthalten.