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II. Projektive Geometrie.
Gerade, wenn sie „identisch" sind. In entsprechender Weise sind die
übrigen Sätze abzuändern.
Solche,,singulären" Geometrien sind z. B. Studys Geometrie der
Dynamen und Geometrie der Somen*): ebene bzw. räumliche Geometrien
von Punkten mit dualen Koordinaten (s. I 46, p. 17). Man kann in
einer „singulären" Geometrie Netze von lauter nichtsingulären Elementen
bilden, in denen also trotz der singulären Koordinaten alle Verknüpfungs-
sätze ausnahmslos genau wie in einer „nichtsingulären" Geometrie
gelten.
Um dies nur für eine ebene Geometrie mit dualen Koordinaten
a+bi (mit i² 0) zu zeigen, betrachte man das System der Punkte:
=
(l + (m + n) i, m + (l + n) i, n + (l +m) i) = P₁,m,n,
wo l, m, n nicht alle drei gleich Null sind, und der Geraden:
--
·
2,μ, vi
2,
[λ — (µ + v) i, µ — (λ + v) i, v − (2 +µ) i]
- = &₂
wo λ, u, v nicht alle drei gleich Null sind. Dieselben bilden ein
Netz, denn die beiden verschiedenen Punkte P Pu,m',n' bestimmen
die Gerade G,,, mit λ = mn' — m'n, µ = nt' — n'l,' v' = l'm' — I'm,
λημ,ν
welche in der Tat zu dem betrachteten System gehört, weil niemals
λ = μ
= 2' = O sein kann; dann würde nämlich, für z. B. n + 0:
,m,ni
-
n'
= n "
m,
n
d. h. Pim,n Pr,m,n' folgen, gegen die Voraussetzung.
Ebenso be-
stimmen zwei verschiedene Gerade des Systems einen Punkt desselben.
Dieses Netz enthält keinen singulären Punkt (ai, bi, ci); denn l=0,
m = 0, n = 0 ergäbe nur (0, 0, 0), keinen Punkt des Netzes; ebenso
enthält das Netz keine singuläre Gerade.
Eine ebene singuläre Geometrie erhält man z. B. auch, wenn man
die Punkt paare (AB) und Geraden paare [A B] einer nichtsingulären
Geometrie als „Punkte“ und „Geraden“ auffaßt. Die beiden verschie-
denen Punkte (AB), (A′B′) bestimmen die Gerade [[AA′][BB′]] im
allgemeinen eindeutig, nämlich wenn sie nicht halbidentisch (AA'
oder B B') sind; usw.
=
n'
で ​1,
n
m'
=
=
n'
n
n'
68. Satz: Unter Zugrundelegung eines Zahlensystems wie in 61
werde ein Zahlenquadrupel (x, y, z, t), wo x, y, z, t nicht alle Null
sind, als Punkt, zwei Punkte (x, y, z, t), (λx, y, z, t), wo 2 von
Null verschieden ist, als identisch, ebenso ein Zahlenquadrupel derselben
Art (§, n, s, t}
{l, nl, sl, tl) als Ebene bezeichnet und das Zu-
*) Study, Geometrie der Dynamen (Leipzig 1903) p. 556.