Art. 61.
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kommutative Gesetz der Multiplikation gilt, werde ein Zahlentripel
(x, y, z), wo x, y, z nicht alle drei Null sind, als Punkt, zwei Punkte
(x, y, z), (2x, y, z), wo λ eine beliebige von Null verschiedene
Zahl bezeichnet, als identisch, sonst als verschieden, ebenso ein Zahlen-
tripel derselben Art [§, n, ¿] = [§l, nl, ¿l] als Gerade bezeichnet und
das Zusammenfallen eines Punktes (x, y, z) mit einer Geraden [§, n, 5]
durch die Gleichung x + y + z= 0 definiert, welche bei variabeln
x, y, z Gleichung der Geraden [, 7, ] bei variabeln, n, Gleichung
des Punktes (x, y, z) heiße. In diesem System von Punkten und
Geraden gelten die ebenen Axiome der Verknüpfung.
Beweis: Zwei verschiedene Punkte (x', y', '), (x", y″, z″) be-
stimmen eine Gerade [, n, ], deren Gleichung x + y + z = 0 sich
durch Elimination von §, n,
hieraus und aus
tón tết
x" § + y″n + z″¿ = 0
0
ergibt. Man kann "0 annehmen und erhält
2
Z'
X
(x
(x' — — x') % + (y —
y'ˆ) 7 — 0.
y″)
=
-
η
Man kann ferner wegen der Verschiedenheit der beiden gegebenen
Punkte sicher eine der beiden Größen x'
Z'
x", y-y', etwa
Z"
die erste, als von Null verschieden annehmen und erhält
2
x") § + (y −
x"
126-40)
(ý
x"
x' §' + y' y
x' §′ + y″ n'
2,
"
x' ¿″ + y' n″
%,
x" & " + y″ n″
-
als Gleichung der Geraden.*) Ebenso ergibt sich, daß zwei ver-
schiedene Gerade einen Schnittpunkt bestimmen. Daß aber zwei ver-
schiedene Gerade [§', n'′, 5′], [§'', n", "'] nicht zwei verschiedene Schnitt-
punkte (x', y', z′), (x", y', z″) haben können, ergibt sich aus den
Gleichungen
+ z' §′
+ 2″ 5′
y'´) n = 0
2
= y — — y',
Z"
―
= 0
0
0
+ 2″ 5″ = 0
+ 2' 5''
=
*) und zwar nicht der ausgeschlossenen [0, 0,
07.