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II. Projektive Geometrie.
ebenso:
P
=
= ([SP′], E) = ( {SBC'}, {SB₁С₁'}, Е)
([{SBC'), E], [{ SB, C,₁' }, E]) = ([BC], [B₁₁]),
=
·
Q = ([AC], [4₁ C₁]),
womit der Satz bewiesen ist.
59. Satz: Wenn eine ebene Geometrie nicht Schnitt einer räum-
lichen ist, so braucht in ihr der Desarguessche Satz nicht zu gelten:
derselbe ist keine Folge der ebenen Axiome, denn es existiert eine
ebene „Nicht-Desarguessche" Geometrie.
Beweis: Unter Zugrundelegung des Systems der gemeinen reellen
Zahlen bezeichnen wir das Aggregat zweier solcher Zahlen (x, y) als
einen Punkt, ferner die Gesamtheit der Punkte, welche entweder den
Bedingungen:
(p ≥ 0)
x cos ay sina = p, x²+ y² ≥1
oder den Bedingungen:
λp (x² + y² — 1)
genügen, als Gerade [Cos
α
gungen
=
x cos α + y sin a
sin a
p
20
x² + y² < 1
hier sei eine nur den Bedin-
0 < λp< 2 für p>0,
Ap
P
const.
0
=
P,
arc sin
P
2
2
entsprechende, im übrigen beliebig gewählte stetig von Null an
wachsende reelle Funktion von p, z. B. λ = 1 tg
2p
Für diese
Geometrie gelten die ebenen Axiome der Verknüpfung*), wie man
am einfachsten nach anschaulicher Interpretation**) erkennt. Dann
wird nämlich das innerhalb des Kreises x2 + y² = 1 liegende Stück
x²
AB einer Geraden [AB] durch einen Kreisbogen AB ersetzt, der
zwischen der Sehne AB und dem zu x² + y² = 1 senkrechten Kreis-
P.
*) Die Gerade [0, 0] und die auf ihr liegenden Punkte werden nicht aus-
geschlossen.
**) Diese Interpretation in der gewöhnlichen ebenen Geometrie kann un-
bedenklich verwendet werden, da die Begründung dieser Geometrie zwar erst
später, aber unabhängig von 59 erfolgt. Die obige Nicht-Desarguessche Geometrie
ist einfacher als die von Hilbert (Grundlagen § 23) zu demselben Zweck kon-
struierte, in welcher die Geradenstücke innerhalb einer Ellipse durch Kreis-
bogen ersetzt werden.
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