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II. Projektive Geometrie.
auch als Gerade [, n, ] bezeichnet werden. Der Punkt (x, y, z) und
die Gerade [, n, ] heißen koinzidierend, wenn und nur wenn
x + yn+z5= 0 (mod p)
ist. Alsdann haben zwei verschiedene Gerade [§, n, 5], [§', n', 5'] genau
einen Punkt gemein. Denn ist erstens == 0, also von E, ', n, n'
η,
wenigstens zwei nicht entsprechende, etwa §, n', == 0, so ist (0, 0, 1)
der einzige Schnittpunkt, denn für jeden anderen würde aus
x§+yn=0, x§'+yn'=0
folgen:
d. h.
y
ફ્
Ist zweitens
so kommt:
X
ή
[§, n, 0] = [§n', nn', 0] =
0, '=0, also von
ૐ
·
n
ខ
X,
-
t&t&
§ n´ — §' n
n5-45x, n5-n's
2=
-Tues
-
Y
also (— n'e̱, §'§, §n'—§'n) als einziger Schnittpunkt.
--
Ist drittens 0, ?= 0, so sind ¿§'— '§, ng' — n'e̱ nicht beide
= 0, da sonst [§, n, 5] = [§5', ns', 55'] = [§'s, n´ 5, 5's] = [§', n', s'] wäre.
Sei also n―n' == 0, so kommt:
·
•
also έn'— 'n = 0,
[§'n, n'n, O] = [§', n', 0].
', ' wenigstens eines, etwa n′ ==≥0,
Ex + y n
ૐ
y,
Durch zwei verschiedene Punkte
gibt es genau eine Gerade (4).
Es gibt mehr als drei*), zu je
drei auf keiner Geraden liegende
Punkte (40).
§ n´— §'´ n
n's
X
X, also (nt n', '— '§, §n'— É'n)
y
als einziger Schnittpunkt.
Ebenso beweist man, daß zwei verschiedene Punkte genau eine
Gerade bestimmen.
48. Definition: Die Sätze in der Ebene:
Zwei verschiedene Gerade schnei-
den sich in genau einem Punkt (21).
Es gibt mehr als drei, zu je
drei durch keinen Punkt gehende
Gerade (40).
*) Es ist üblich, statt dessen den Grundsatz: Es gibt unendlich viele Punkte,
anzunehmen. Wie aus 47 folgt, gibt es aber auch ,,endliche" Geometrien, so
daß dieser Grundsatz mehr enthält, als erforderlich ist. Andererseits enthält er
zu wenig, da eine ,,unendliche" Menge von Punkten sowohl abzählbar als (nach
Einführung der Anordnung) stetig sein kann und in beiden Fällen auch noch
die Anordnung linear oder planar usw. sein könnte, was notwendig angegeben
werden muß, wenn der fragliche Grundsatz einen hinreichend bestimmten Inhalt
haben soll.