Art. 45-47.
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punkten des Netzes. Nunmehr ordne man die abzählbare oder end-
liche Menge von Punkten
([Pr Pi], [P₂ Pr]),
/h <i
\h<k<
1)
für jeden Index h in eine Reihe P1, P2), und diese mit den
Grundpunkten zusammen in die Reihe:
1 "
P₁(3),
aus der man ebenso eine neue Reihe von Punkten ableiten und in
diese einordnen kann. Nach jeder endlichen Anzahl von Schritten
findet man so die Gesamtheit der konstruierten Punkte in eine Reihe
geordnet, also endlich oder abzählbar.
Ist die Gesamtheit der Punkte endlich, so gehen durch zwei be-
liebige Punkte, z. B. P₁, P₂ gleichviel Gerade; denn man kann die
Punkte P1, P2, P3, der Reihe nach den Punkten P, P1, P··
und dann die durch Konstruktion aus P1, P2, P3, abgeleiteten
Punkte und Geraden den durch entsprechende Konstruktion aus
P2, P1, P3, abgeleiteten Punkten und Geraden zuordnen. Ebenso
zeigt man, daß auf zwei beliebigen Geraden des Netzes gleichviel
Punkte des Netzes liegen. Ist also (m, n) die Konfiguration des
Netzes, so liegen auf jeder der u durch einen Netzpunkt gehenden
Geraden 1 der m Punkte; demnach ist
v
m =
µ (v − 1) + 1
m (m—1)
Ferner fallen die
2
zu je
P₁, P2, P₁(¹), P¸, P₂(¹), P₁(²), P4, P¸¹), P½(²),
1
3
2
-
und ebenso n = v (u − 1) + 1.
-
Verbindungslinien je zweier der m Punkte
v (v —¹) auf eine der n Geraden, also ist
2
m (m −1) v (v 1)
2
2
=
m
..
n,
woraus durch Einsetzung der obigen Werte für m und n
(u — 1) (v — 1)² (u — v) = 0,
also, wegen u>1, v > 1,
μ = v,
n =
μ² — µ + 1
folgt.
Ein ebenes Netz mit endlich viel Punkten kann man z. B. folgender-
maßen bilden. Es sei p eine beliebige Primzahl. Ein Tripel von drei
ganzen Zahlen x, y, z, die nicht zugleich = 0 (mod p) sind, heiße ein
Punkt (x, y, z). Zwei Punkte (x, y, z), (x', y', z′) heißen identisch,
wenn und nur wenn x'=kx, y' = ky, z' = kz (mod p) ist. Unter
denselben Festsetzungen soll ein Tripel von drei ganzen Zahlen §, î, ç