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II. Projektive Geometrie.
34. Satz: Ist EFGH 0 und E, F, G, H in ABCD, dann
ist jeder Punkt I von ABCD auch in EFGH.
Beweis: Aus ABCDE-0 u. ABCDF-ABCDG-ABCDH=
ABCDI 0 folgt ABCEF-ABCEG=ABCEH-ABCEI=0,
hieraus ebenso: ABEFGABEFH
AEFGH-AEFGI=0 und schließlich EFGHI = 0.
ABEFI =
=
=
0, daraus:
35. Satz: Ist EFGH0 und E, F, G, H in ABCD, dann
ist jeder Punkt von EFGH auch in ABCD.
Beweis: Nach 34 ist jeder Punkt von ABCD, also auch
A, B, C, D in | EFGH; also (nach 34) jeder Punkt von EFGH|
auch in ABCD ; q. e. d.
36. Definition: Zwei solche Räume heißen „identisch",
ABCD EFGH, sonst „verschieden“ | ABCD + EFGH.
37. Satz: Liegen drei Punkte E, F, G einer Ebene in einem
Raume ABCD, dann jeder Punkt der Ebene.
Beweis: Mindestens einer der Punkte A, B, C, D ist von jedem
der Punkte E, F, G verschieden. Wird einer dieser verschiedenen
Punkte mit H bezeichnet, so sind E, F, G, H, also (nach 35) alle
Punkte von EFGH, also speziell (nach 30) alle Punkte von
(EFG) in ABCD.
38. Satz: Liegen zwei Punkte E, F einer Geraden [EF] in
einem Raume ABCD, dann alle Punkte der Geraden.
Beweis: Mindestens zwei der vier Punkte A, B, C, D sind nicht
mit den Punkten E, F in einer Ebene. Werden zwei dieser ver-
schiedenen Punkte mit G, H bezeichnet, so sind E, F, G, H, also
(nach 35) alle Punkte von EFGH, also speziell (nach 30), alle
Punkte von [EF] in ABCD.
39. Grundsatz: Es gibt mindestens einen Punkt in demselben
Raume, wie die nach 2, 8, 24 existierenden vier Punkte, aber mit
keinen drei von ihnen in einer Ebene.
Folgerungen: 1) Es gibt in demselben Raume mindestens fünf
Ebenen, von denen keine vier durch einen Punkt gehen.
Beweis: Sind. A, B, C, D, E fünf der mindestens existierenden
Punkte, deren keine vier in einer Ebene liegen, so sind (ABC},
{BCD}, {CDE}, {DEA}, {EAB) fünf Ebenen, deren keine vier
durch einen Punkt gehen. Denn es schneiden sich z. B. die drei ersten
in C, welcher Punkt nicht in {DEA} oder {EAB} liegt.
2) Durch jeden der Punkte A, B, C, D, E,.. gehen mindestens
vier, zu je dreien nicht in einer Ebene liegende Gerade, z. B. durch
E die Geraden [AE], [BE], [CE], [DE].
3) Auf jeder dieser Ebenen liegen mindestens vier, zu je dreien,