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II. Projektive Geometrie.
ABDG
ABCD=ABCG = 0 ebenso ABDG = 0, aus ABCD=ABCF = 0,
ebenso ABDF = 0; also aus ABDE
0, ADEG 0,
und aus ABDE = ABDF=0, ADEF=0; schließlich aus ADEG
- ADEF-0, DEFG = 0, d. h. G Punkt von (DEF); q. e. d.
=
18. Satz: Sind D, E, F drei Punkte von {ABC) und DEF÷0,
dann ist jeder Punkt von {DEF} Punkt von {ABC}.
Beweis: Nach 17 sind alle Punkte von (ABC), also auch (14)
A, B, C Punkte von (DEF), also (16): jeder Punkt von (DEF)
Punkt von ABC).
19. Definition: Zwei solche Ebenen heißen ,identisch",
{ABC}={DEF}, sonst „verschieden“ {ABC}+{DEF}.
20. Satz: Liegen zwei Punkte D, E einer Geraden [DE] in
einer Ebene (ABC), dann liegt jeder Punkt der Geraden in dieser
Ebene.
=
=
""
Beweis: Von A, B, C ist wenigstens ein Punkt von D und E
verschieden. Bezeichnen wir einen derselben mit F, so liegen D, E, F,
also (18) jeder Punkt von {DEF}, also (14) insbesondere jeder Punkt
von [DE] in {ABC}.
21. Satz: Es gibt genau eine Ebene, die eine Gerade [BC] und
einen nicht in ihr liegenden Punkt enthält.
Beweis: Nach 14 hat die Ebene (ABC), nach 20 und 9 nur
diese die verlangten Eigenschaften.
22. Satz: Zwei verschiedene Gerade [AB], [CD] einer Ebene
schneiden sich in einem, also (5) nur einem Punkte.
"
-
Beweis: Da D in {ABC) liegt, existiert (nach 9) E so, daß
ABC-CDE=0 ist.
=
23. Satz: Zwei durch einen Punkt A gehende verschiedene
Gerade [AB], [AC] bestimmen genau eine sie enthaltende Ebene.
Beweis: Nach 14 hat die Ebene {ABC}, nach 20 und 9 nur
diese die verlangten Eigenschaften.
24. Grundsatz: Es gibt einen Punkt, der nicht in der Ebene
liegt, welche durch die nach 2 und 8 existierenden drei Punkte be-
stimmt ist.
:
25. Definition: Ist ABCD +0, d. h. D nicht in ABC}
und ABC 0, so heißt die Gesamtheit der Punkte E, für welche ein
Punkt Fexistiert, so daß ABCF = DEF = 0 ist, „Raum" ABCD.
26. Satz: In ABCD dürfen die drei ersten Buchstaben per-
mutiert werden, d. h. es ist ABCD ACBD usw.
Beweis: Aus 25 und 15 Folg. 1.
27. Satz: Existiert zu A, B, C, D, E ein Punkt F so, daß
ABCF-DEF 0 ist, dann existiert auch G so, daß ABDG
=