Art. 6-17.
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D
Dieser Satz ist unabhängig von den vorhergehenden Grundsätzen
und Definitionen. Denn man bezeichne z. B. als „Punkte" die Qua-
drupel von vier teilerfremden ganzen Zahlen
(x,
, y, z, t), die nicht alle O und deren letzte,
t, gleich 0 oder 1 ist. Ein Quadrupel (kx,
ky, kz, kt) definiere für alle ganzen Zahlen
k0 denselben Punkt. Als „Gerade" der
„Punkte“ (x, y, z, t), (x', y', z', t') bezeichne
man die Gesamtheit der in ( x + k' x',
ky + k'y', kz+k' z', kt + k't') für alle ganzen
Zahlen k, kenthaltenen ,,Punkte". Dann
bestehen offenbar die Grundsätze und Defi-
nitionen 2, 4, 7, 8, 9, aber nicht 11, da z. B. die Punkte A (0001),
B (1101), C(1301), D= (3101), E = (2201), F = (1303) wie
in 11 liegen, aber F kein „Punkt“ in dem hier festgesetzten Sinne
ist (s. Fig.)
=
=
=
A
-
12. Satz: Es ist (ABC)= {ACB}.
Beweis: Ist D ein Punkt von {ABC), existiert also E, so daß
ABE CDE=0 ist, so ist D auch Punkt von (ACB), denn es
existiert (nach 11) ein Punkt F so, daß ACF BDF = 0 ist.
13. Satz: In {ABC) sind alle Permutationen gestattet.
Beweis aus 10 und 12.
:
B
-
F
E
14. Satz: {ABC} enthält [AB].
Beweis: Ist D ein Punkt von [AB], also ABD = 0, dann ist
ABE CDE = 0 für ED, also D ein Punkt von {ABC).
Folgerung aus 4, 13, 14: {ABC} enthält [BC], [AC], A, B, C.
15. Satz: Ist D ein Punkt von {ABC), dann C von {ABD}.
Beweis: Es existiert E so, daß ABE = CDE 0 ist, also
auch so, daß ABEDCE=0 ist, d. h. C liegt in (ABD).
-
Folgerungen: 1) Es liegt auch B in {ACD), A in (BCD).
Bezeichnet man diese Lage mit ABCD = 0, so sind hierin also alle
Permutationen gestattet.
-
0, dann ABCD
= 0.
=
2) aus 14: wenn ABD
16. Satz: Sind D, E Punkte von {ABC), dann A von {CDE}.
Beweis: Es existieren (9) F und G so, daß CDF ABF = 0,
CEGABG 0 ist. Also ist (7) [AG] = [AB], [CG]=[CE],
also DCF = AGF = 0, und (11) DAH = CGH = CEH = 0, d. h.
A Punkt von {CDE}.
=
17. Satz: Sind D, E, F drei Punkte von {ABC} und DEF÷0,
dann ist jeder Punkt G von {ABC} Punkt von {DEF}.
Beweis: Aus ABCD-ABCE = 0 folgt (16) ABDE = 0, aus
-