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I. Grundlagen der Arithmetik.
Schließlich genügt x der Gleichung x² 0. Denn wäre
etwa x² - a <0, so wähle man für a die kleinere der beiden Zahlen
α
- 1 oder 3, ferner 0 <<
<§<
a
x 2
und x =
(1), so wird erstens
3
und zweitens
a
x² = (1 + 2 § + §º) x²x², d. h. x² - a <0
<
(1+) xx,
gegen die Bestimmung von x. Ebenso würde man x²- a > 0 wider-
legen, am einfachsten durch Zürückführung auf den eben erledigten Fall,
vermittelst der Reziproken
1 1
(xy)² — ab
so folgt
X =
=
XC
1
2
"
"
a
Zusatz: Quadratwurzeln aus negativen und aus imaginären
Größen werden durch die Formeln
=
usw.
V
√— a=i√a und √a+ib = √ ª + Va² + b²
2
+ i √ = a + √ a² + b³
auf Quadratwurzeln aus reellen positiven Größen zurückgeführt. Rech-
nungsgesetze, wie Va. Vb Vab sind durch Identitäten, wie
-
a
=
ax² + α₁x²-¹+
-1
(x² − a) (y² + b) + 1 (x² + a) (y² — b),
-
-
2
zu beweisen. Aus x¹ = (x²)² folgt Va = V√a,
148. Satz: In einem gewöhnlichen reellen Größensystem gibt
es positive Größen x, für welche eine ganze Funktion
+ an
...
0 < x <=an,
NA'
mit reellen Koeffizienten und an <0 negativ wird.
Beweis: Es sei A größer als jede der Größen a, a, ....
± an
ferner
usw.
а x² + α₁ x² - ¹+ ··· + an <a₂+ A (x + x² + ··· + 20²)
-1
...
<a₂+ Anx < 0.
n
149. Satz: In einem gewöhnlichen reellen Größensystem gibt es
sowohl Größen x, für welche und unterhalb welcher eine ganze Funktion
x² + α ₁ x² - ¹ +
+ an
1
ungeraden Grades n, mit reellen Koeffizienten, negativ, als solche x,
für welche und oberhalb welcher dieselbe Funktion positiv wird.