Größensysteme. 141–147.
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145. Satz: Ein gewöhnliches imaginäres (d. h. i enthaltendes)
Zahlensystem ist nicht linear zu ordnen.
Beweis: Setzt man i>0 oder <0, so folgt durch Multipli-
kation mit in beiden Fällen - 1>0, was unmöglich ist.
i
146. Satz: Ein gewöhnliches imaginäres Zahlensystem ist nicht
überplanar zu ordnen.
Beweis: Es bestimmen 0, 1, i ein planares Teilsystem, da sie
(nach 145) keinem linearen Teilsystem angehören können. Da nicht
alle Zahlen des Systems diesem planaren Teilsystem angehören sollen,
sei a eine von den nicht dazu gehörigen. Dann bestimmen 0, 1, i, a
ein überplanares (eigentliches oder uneigentliches) Teilsystem, in
welchem z. B.
(0, 1, i, a) > 0
ist. Dann folgt entweder:
oder es folgt:
(0, i, — 1, ia) > 0,
(0, i, — 1, ia) <0,
je nachdem, ob i zu den Multiplikatoren gehört, welche die Ordnung
erhalten oder zu denen, welche sie umkehren. Die nochmalige Mul-
tiplikation mit i ergibt in beiden Fällen
(0, −1, −i, — a) > 0
gegen 65.
147. Satz: In einem gewöhnlichen reellen Größensystem kann
die Existenz der Quadratwurzeln aus positiven Größen ohne Benutzung
der Meßbarkeit bewiesen werden.
a
-
Beweis: Es sei a > 0 (und <1, da man sonst nehmen könnte*));
dann ist x² — ɑ für alle nichtnegativen Größen x eines relativ dichten
Teilsystems des Systems teils negativ (wie für x = 0), teils nicht-
negativ (wie für x = 1). Man bezeiche mit die ersteren Größen,
x
für welche x²- a<0, mit ≈ die letzteren, für welche 2-a≥ 0,
und definiere eine Größe z durch die Ungleichungen < x < x.
·
Diese sind zulässig, da die aus ihnen folgenden x < richtig
sind. Denn aus würde 0 > x² — a ≥ x² — a > 0 folgen.
x
Die Bestimmung von x ist nach 18 eindeutig, da die Größen
x, relativ dicht liegen.
*) Nachdem für a <1 die Existenz von Va nachgewiesen, kann für a 1
1
Va=
1
(V
V
a
gesetzt werden, denn es ist in der Tat
a
2
1
a
-
a.