Größensysteme. 137-140.
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gelten, setze man (a, a', a')>0, wenn der Koeffizient [aa]
von i
a"
in der Entwicklung von
a
a
im Sinne von 133 > 0 ist. Dann
a
gelten offenbar 52 und 126.
C gilt nicht, wegen xy= λyx, 21, und D gilt nicht, da sonst
(s. 140) C folgen würde. Auch die Vertauschungssätze 21 gelten,
denn aus
und
α
[aa]>0 folgt [aa] <0
also
a"
α
-
[=a] = [1 −=a] <0.
a-a
-a
α
und
140. Satz: Aus den Grundsätzen der Verknüpfung und denen
der planaren Anordnung folgt D; und umgekehrt: C folgt aus den
übrigen Grundsätzen der Verknüpfung, denen der planaren Anordnung
und D.
Beweis: Gelten A, B, C, 52, 126 und ist (a, b, c) > 0, dann
a+b+c
liegt (s. 60) die reelle Größe
zwischen a, b, c, also gilt D.
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Gilt umgekehrt C nicht, aber D, und wäre
abba,
dann würde eine imaginäre (s. 128) Größe x existieren, so daß
(ab, ba, x)>0 (resp. <0); denn wäre für alle imaginären Größen x
immer (ab, ba, x) = 0, so bildeten dieselben eine lineare Teilmenge,
was nicht der Fall ist (s. 145). Weiter existiert eine imaginäre
Größe y, so daß
-
gegen 21; denn es ist
(ba, x, y)>0,
(x, ab, y) > 0,
1
b
1
(a,x,y)>0
X,
b
(x, 0, 1) > 0,
b a, y b
1 x = x 1,
b
denn sonst würde (z. B.) eine imaginäre Größe z existieren, so daß
( 1 x, x 1, x) > 0,
b
also eine imaginäre Größe t, so daß