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1. Grundlagen der Arithmetik.
D
131. Grundsatz der relativen Dichte:
Eine geordnete Menge enthält ein gewöhnliches (s. 128)
Größensystem als relativ dichte Teilmenge.
132. Satz: Gilt in einem linearen Größensystem der Grundsatz
D, so folgt: Von jeder gegebenen Größe 0 des Systems ist ein
reelles Vielfaches größer als jede gegebene Größe; d. h. wenn a 0,
x gegebene Größen sind, so existiert eine reelle Größe k so,
kax ist.
daß
Beweis: Liege zwischen x und x + 1 die reelle Größe h, und
zwischen und a die reelle Größe k, so folgt x <h<h a.
1
k
133. Satz: C und D sind unabhängig von allen Grundsätzen
der Verknüpfung, denen der linearen Anordnung und von der Stetigkeit.
Beweis: Man betrachte das System von Funktionen zweier Va-
riabeln x und y, die A genügen:
аox™。 yno + α₁x™₁ y^1 + α z X™ 2 Y N z + ···
mit reellen Koeffizienten a, a,..., ganzzahligen Exponenten mo, no,
m₁, n₁,... und so geordnet, daß das Glied xy" dem Gliede kyk
vorangeht, wenn entweder m<m oder wenn m₁ = m, n, <n ist.
Ferner sei
xy Lyx*),
k
a
wenn
=
wo eine gegebene reelle positive Zahl ist. Dann gilt zunächst C
nicht, aber die übrigen Verknüpfungssätze und die Stetigkeit. Damit
auch die Anordnungssätze 52 und 126 gelten, setze man a' <a″, wenn
a" - a'>0, und man setze a > 0, wenn der erste Koeffizient a > 0
ist. Nunmehr gelten offenbar 52, 126, also auch B (nach 127).
Aber D gilt nicht; denn es gibt kein reelles Vielfaches von x größer
als y, weil stets kx y0 ist. Es muß noch gezeigt werden, daß
in dem Systeme die Division ausführbar ist, d. h. nicht nur B gilt
(s. o.), sondern auch die Reziproken existieren. Die Größe
(Co + c₁ x + C₂ x² + · · ·) xm yn,
wo die c nur von y abhängen, hat die Reziproke:
y¯" x¯m (do + d₁x + d²x² + · · ·),
་
=
codo = 1
cod₁ + c₁d' = 0,
cod₂+cd+cą do" = 0
=
*) Man darf nicht (wie Hilbert, Grundlagen der Geom., 1899, p. 74) λ - 1
annehmen, da sonst die Anordnungsgrundsätze nicht erfüllt wären. In der zweiten
Auflage setzt Hilbert
= 2.