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I. Grundlagen der Arithmetik.
Größensysteme.
125. Definition: Ein geordnetes Zahlensystem heißt ein Größen-
system, wenn das „,multiplikative Anordnungsaxiom" 126 gilt.
126. Grundsatz: Zwischen den Zahlen a, b, c, . . . bestehen die-
selben oder die entgegengesetzten Ordnungsbeziehungen, wie zwischen
den Zahlen
hak, hbk, hck,
wo h, k beliebige Zahlen 0 des Systems sind.
127. Satz: Aus 126 folgt B.
Beweis: Ist a +0, a' 0, so folgt aus (z. B.) (0, a,...)>0
nach 126: (0, aa',...) ≥0, also aa' +0.
•
also aus:
und aus:
128. Definition: Ein Zahlensystem, in welchem alle Ver-
knüpfungssätze gelten, heißt ein „gewöhnliches" Zahlensystem. Gelten
überdies die linearen Sätze der Anordnung 52, 126, so heißt das System
ein „reelles" Größensystem. Durch Hinzunahme der imaginären Ein-
heit i (mit i² + 1 = 0, s. 91) entsteht aus einem reellen ein „imaginäres“
Größensystem. Dasselbe ist planar zu ordnen, indem man (a + a″i,
1 1
1
b' + b''i, c' + c'i)>0 setzt, wenn
a b' c0 ist. Dann sind
a" b″ c"
offenbar die planaren Grundsätze 52, 126 erfüllt.
129. Satz: Im Falle linearer Anordnung folgen 52 und 126 aus
dem Satze: Zwischen a, b, c,... bestehen dieselben oder die entgegen-
gesetzten Ordnungsbeziehungen, wie zwischen a+h, b+h, c+h,
und wie zwischen ah, bh, ch,
Beweis: Aus a > 0<1 folgt dann entweder:
ah > 0<h oder ah <0>h,
a > 0, h> 0 folgt ah > 0,
a > 0, h<0 folgt ah <0.
also aus:
und aus:
...
Aus a 01 folgt entweder:
""
ah <0h oder ah>0>h,
Es ist 10; denn wäre erstens:
1>-1 > 0,
a <0, h< 0 folgt ah
a <0, h> 0 folgt ah <0.
O,
...