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I. Grundlagen der Arithmetik.
112. Satz: Mit
Ι αβγ
a' B'y'
im allgemeinen dann und nur
Satz C gilt.
Beweis: Gilt erstens C, so sind die definierenden Relationen für
άβγ
βγ
identisch.
(%) und (7)
άβγ
αβγ
Gilt zweitens C nicht, so ist z. B. im Quaternionensystem
1
0
1+2 i
-
-j
eine Involution, aber
-j
a By identisch.
αβδι
d. h.
1
άβγ
ist
(B) zugleich
α
βγ
dann, wenn für a, ß, y, a', ß', y' der
nicht; denn die definierende Relation ergibt:
ij = ji.
113. Satz: Jede der sechs Zahlen einer Involution ist durch
die fünf übrigen rational, also im allgemeinen eindeutig bestimmt.
Beweis: Die definierende Relation 110 gibt z. B. für a die
lineare Gleichung:
1
1
a (((B — z)—¹ + (B′— y')—¹) œ'— ((B − y)− ¹ ß + (B′— g')−¹ g'))
1+2i
0
1
-1
-
· (2′ (ß — y)—¹ + ß'′ ‹ß′— z′)—¹) a'+ y (ẞ − y) −¹ ß + ß′ (ß'— g'′)—¹ z'.
-
1 ist mit der Involution
1
114. Satz: Die Harmonie (aßyd) =
=-
—20
y
Beweis:
(x − y) (B − y)−¹ (ẞ — α) = (α — ẞ) (§ — ß)− 1 (§ — α)
--
ergibt:
1
1
(B—α)-¹ ((Bẞ—α) + (a− y)) (α—z)−¹ — (8 —α)− ¹ ((8 —α)+(α —ẞ)) (α —ẞ)− ¹
-
1
1
1
α-
1
1+i+jij
―――
+
β α
zugleich eine Involution
1+i+j-ij
2
- 1
=
α
β
+
-
δ α
β
α- Y α d
115. Satz: Zu fünf Zahlen kann man die sechste involutorische
durch Harmonien im allgemeinen dann und nur dann finden, wenn
C gilt.