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I. Grundlagen der Arithmetik.
harmonisch"*) und es ist
+ + 1 = √
& β
82
d
Ꮄ
108. Sätze: Aus a, ß, 8, 2 = (aßyd) ergibt
gemeinen eindeutig (nach 104). Ebenso ergibt sich
im allgemeinen eindeutig.
Ferner ergibt sich a durch 6, 7, 8, 2 aus
1
1
S
α -
=
1
-
β
ε
1
α
=
β
β α β
(und 104), und ẞ durch a, 7, 8, 2 aus
(B − y)−¹ (ẞ — d) — (α − y) − ¹ λ (α — d).
1
-
=
(α
1
?
Demnach ist jede der 5 Zahlen a, ß, 7, 8, 2 durch die anderen
vier eindeutig bestimmt, abgesehen vom Auftreten singulärer Nenner.
Insbesondere ist die vierte harmonische zu drei Zahlen mit Berück-
sichtigung der Reihenfolge eindeutig und die vierte äquianharmonische
mit Berücksichtigung der Reihenfolge zweideutig bestimmt.
109. Satz: Zwei gegebene Paare haben ein eindeutig bestimmtes
gemeinsames harmonisches Paar, wenn und nur wenn C gilt.
1
"
2
Beweis: Gilt C nicht und sucht man z. B. zu den reellen Paaren
a, ẞ und a+1, ß' =-1 das gemeinsame harmonische Paar 7,
so findet man die Gleichung (a + ẞ) y² — 2 (aß + 1) y + (α + ß) = 0,
die nach 90 beliebig viele Wurzeln haben kann, wenn (a + B)².
(αß + 1)² = − (α² — 1) (ẞ²
1) (ẞ² - 1) positiv ist.
Gilt C, so erhält man, y+d=
-
αβ - άβ
p2
α+B—(α +B')'
2,
also
ein Paar
genau
daus y
a + ß — a' — ß' = 0 sein sollte).**)
Anmerkung: Sind a, ß, a', p' reell, dann auch 7, 8, wenn und
nur wenn p²> 0, also wenn a und ẞ entweder beide zwischen oder
beide nicht zwischen a' und ' liegen.
110. Definition: Wenn
(a− y) (B − y)—¹ (ẞ — a') = (α -- ẞ') (v'— ß′)—¹(y'— α')
d
=
= 0.
2s, y
б 2p gesetzt:
-
·α) (α p') (ẞ — α) (B — ẞ')
(α + B ά — B')²
9
--
s+p, δ
-
y
sich im all-
aus a, B, 2, 2
--
-
p (auch wenn
*) Cremona, Curve piane (1862) p. 27. H. Schröter, Math. Ann. 10
(1876) p. 420.
**) Vgl. z. B. R. Baltzer, Analytische Geometrie (Leipzig 1882) p. 17.