Zahlensysteme. 99-103.
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,,rechtssingulären“ Zahlen x 0 und „linkssingulären" Zahlen 0,
mit xέ = 0, zu unterscheiden, wovon wir aber absehen, da dieser
Unterscheidung hier keine Bedeutung zukommt.
Im folgenden werden, wie oben, die aufgestellten Gesetze außer
B, C vorausgesetzt, und, wo Divisionen vorkommen, soll der Divisor
als nichtsingulär angenommen werden.
102. Definitionen: Es heißt (a, B)=a-ß der „Abstand" von
das Verhältnis" der drei Zahlen
a und ß, ferner (α, ß, y)
(x, y)
(B, r)
a, B, 7, schließlich (a, B, 7, 8)
vier Zahlen α, ß, v', d.
103. Sätze: Es ist (aß)
Es ist
(α, P, y) das „, Doppelverhältnis" der
(α, ß, d)
(Ba). Es ist (αß) + (ẞy) = (αy).
——
ر
(aßy) (Bay) = 1, denn (ay). (B) 1.
=
(By) (αy)
Es ist
(aBy) + (ayẞ) = 1, denn +
(αy) (α B)
(Br) (y B)
Setzt man also (aßy) = 2, so kommt:
=
(αy) + (Bα)
(Br)
1
(aßy) = 2 (ßya)=1–1 (raß) = 1,
1
(Bay) = 1/1 (ayẞ) 1-2 (Ba)·
= λ (γβα)
2
=
=
1
2-}−−1, 1–¦−1-1-2, 1-
=1
λ
=
2
1
-
Das Verhältnis (aßy) ist eine „affine Invariante", d. h. es bleibt un-
verändert, wenn man auf a, ß, 7 dieselbe lineare ganze Substitution.
anwendet.*)
1
1
Gelten B und C, so können diese 6 Werte zu je zweien einander
gleich werden:
2
1
1.
1
2
1
α
dann wird y = +; y das „arithmetische" Mittel von « und ß.
2
Gelten B und C, so können die 6 Werte des Verhältnisses auch
*) Derartige Funktionen werden sonst als Semi-Invarianten bezeichnet
(s. F. W. Meyer, Bericht über den gegenwärtigen Stand der Invariantentheorie.
Ber. d. deutschen Math. Ver. I, Berlin 1892); es entspricht durchaus dem üblichen
Sprachgebrauch des Wortes,,affin" dieselben als affine Invarianten den projek-
tiven gegenüberzustellen.