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I. Grundlagen der Arithmetik.
80. Definition: Die Menge der positiven ganzen Zahlen und jede
Menge, deren Dinge den positiven ganzen Zahlen eindeutig zuzuordnen
sind, heißt „abzählbar" *). Eine eigentliche Teilmenge aufeinander-
folgender ganzer Zahlen 1, 2, 3, ..., k, und jede Menge, deren Dinge
den Zahlen einer solchen Menge eindeutig zuzuordnen sind, heißt,,end-
lich". Abzählbare und endliche Mengen sind linear geordnet.
81. Definition: Durch die Gleichung:
1
und die Forderung, daß das assoziative Gesetz
(bc)d = b(ed)
und die distributiven Gesetze (b+c)ebe + ce,
auch bestehen sollen, wenn b, c, d nicht alle von
1 f verschieden sind, wird eine zu a „reziproke"
a
82. Satz: Ist a singulär, so ist die reziproke
Beweis: Es existiert b so, daß ab 0 ist.
=
1
Zahl + kb, wo k ganz, eine Reziproke von a.
a
Für gilt B, denn aus
a
a.
und aus
a
1
a
b b' folgt a (a
1
a
=
83. Satz: Ist a nichtsingulär, so ist die Reziproke eindeutig
bestimmt und genügt (außer A) den Gesetzen
45, 46, 50, 72, B.
Beweis: Sie ist eindeutig, denn ab
Es ist ferner: a ( a) – (a −1 ) ·
=
a
1
b)
a ====
a
= a
=
e(b+c) = eb + ec
1
oder f oder
a
definiert.
1
a
1 α =
.
Zahl
1
a
a
nicht eindeutig.
Demnach ist jede
1
a
1ab' gibt b = b'.
1
a. 1, also
(b) d. h. b = l';
b = b' — folgt b ( a) = b' ('. a) d. h. b — b´.
-
=
a
a
a
+ c
a
1
= (b 1 + c ) a, also: (b+c) a b
a
a
a
*) Zuerst eingeführt von G. Cantor, Journ. f. Math. 77 (1873), S. 258.
=
a
Es gilt 72; denn es ist
(b+c) 1) a = b+c) (a) = b ( a) + c ( a ) − (b 1 ) a + (c-1) a
=
a
a
=
1.