Geordnete Gruppen. 69-70. Zahlensysteme. 71-79.
b + b + b + a + a − a
b + a.
Gilt nur ein distributives
Gesetz, wie z. B. beim Multiplizieren und Potenzieren (ab) = a. be, so
braucht keine der beiden Kompositionen kommutativ zu sein.
75. Das Zahlensystem kann „assoziativ" sein, d. h. es kann
das assoziative Gesetz der Multiplikation bestehen:
A
(ab) c = a(bc).
Daß es nicht zu bestehen braucht, beweisen die Oktaven (45).
76. Definition: Eine Zahl a heißt „singulär", wenn für die.
selbe nicht das „binäre" Gesetz der Multiplikation gilt:
Aus ab ab' folgt b= b',
aus ba
b'a folgt b = b'.
Demnach ist O eine singuläre Zahl. Ein Zahlensystem heißt singulär,
wenn es noch andere singuläre Zahlen außer der Null enthält. In
einem nichtsingulären Zahlensystem folgt aus ab=0 entweder a=0
oder b= 0; während in einem singulären Systeme a (b-b')
a0, bb'0 sein kann.*)
B
=
=
=
·
Daß das binäre Gesetz der Multiplikation nicht für alle Zahlen
+0 zu bestehen braucht, beweisen die dualen Zahlen (s. 46).
77. Definition: Mit 1 (,,Eins") werden diejenigen nichtsin-
gulären Zahlen bezeichnet, für welche
1.1 1
=
ist. Solche Zahlen brauchen nicht vorhanden zu sein, wie das System
2, 3, 4, ... beweist; es sollen aber stets diese Zahlen auf Grund der
obigen beiden definierenden Eigenschaften dem System hinzugefügt
werden.
=
-
78. Sätze: A (s. 75) vorausgesetzt, ist a1 = a.
Denn aus
(a. 1). 1 a (1.1)=a.1 folgt a∙1 a. Ebenso 1a a.**) Ferner
a.(-1)=-a; denn aus a +(-a)=0= a·0=a (1 + (− 1)) = a · 1+
a (1) folgt - a = a(-1). Ebenso a = (-1) a. Ferner: es
gibt nur eine nichtsinguläre Zahl 1 definiert durch 111. Denn
= a = a 1 folgt entweder a
-
·
•
1 oder a singulär.
aus a α =
•
79. Definitionen: Man setzt 1+1=2 (zwei), 2+1=3
(drei) usw. Die Zahlen...
die ganzen" Zahlen.
3, 2, 1, 0, +1, +2, ... heißen.
Man setzt a¹= a, a*+¹ = a*. a („Potenzen“
ak+1
von a) usw.
-
=
-
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-
=
*) Singuläre Zahlen heißen bei Weierstraß,,Teiler der Null".
**) Eine Zahl e dieser Art, daß stets ae = ea = a ist, heißt bei Stolz
(s. Stolz und Gmeiner, Theoretische Arithmetik II, Leipzig 1902, p. 282) eine
indifferente Zahl oder ein Modulus.
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