L
BRAR
OF THE
UNIVERSITY
OF
CALIFORZO
Geordnete Mengen. 35-40.
15
36. Satz: Eine aus mindestens fünf, nicht einer planar geordneten
Teilmenge angehörenden Dingen bestehende Teilmenge einer über-
planar geordneten Menge ist eine überplanar geordnete Menge.
Beweis wie zu 14 und 25.
37. Definition: Eine Menge heißt „übersphärisch geordnet“,
wenn aus ihr durch Vielfachzählung eines Dinges a als a, a, ay, . . .,
wo α, ß, y, ... eine planar geordnete Menge bilden, eine überplanar
geordnete Menge entsteht, in welcher für ein Ding b stets:
b über (ɑɑ, ag, a₁), wenn a rechts (ẞy).
38. Definition: Eine überplanar geordnete Menge heißt „dicht“,
wenn zwischen je vier, nicht einer planar geordneten Teilmenge an-
gehörenden Dingen der Menge ein Ding der Menge liegt.
39. Definition: Eine Teilmenge m einer überplanar geordneten
Menge M heißt „relativ dicht", wenn zwischen je vier, nicht einer
planar geordneten Teilmenge angehörenden Dingen der Menge M ein
Ding der Menge m liegt.
Folgerungen: 1) Eine relativ dichte Teilmenge ist (absolut) dicht,
aber im allgemeinen nicht umgekehrt.
2) Eine relativ dichte Teilmenge einer überplanar geordneten Menge
besteht aus mindestens fünf nicht einer planar geordneten Teilmenge
angehörenden Dingen, ist also (36) überplanar geordnet. Denn ist
die Teilmenge uneigentlich, dann ist der Satz evident; ist sie eigent-
lich und sind a, b, c, d vier, nicht einer planar geordneten Teilmenge
angehörende Dinge der Menge, so existieren Dinge α, ß, 7, 8, ɛ der
Teilmenge, so daß & zwischen a, b, c, d; ferner a zwischen b, c, d, ε;
ferner ẞ zwischen a, c, d, ε; ferner y zwischen a, ß, d, ɛ; ferner d
zwischen α, ß, c, & liegt; so liegt über (resp. unter) (α, ß, ɛ) und es
liegt unter (resp. über) (α, ß, ε), also gehören a, ẞ, y, d, ε keiner
planar geordneten Teilmenge an.
40. Satz: In einer überplanar geordneten Menge wird jedes Ding
durch seine Ordnungsbeziehungen zu je drei, mit ihm nicht einer
planar geordneten Teilmenge angehörenden Dingen einer relativ dichten.
Teilmenge eindeutig bestimmt.
Beweis: Sind a + b zwei Dinge der Menge, so existieren in der
relativ dichten Teilmenge zwei Dinge x, y, die mit a, b keiner planar
geordneten Teilmenge angehören; denn sonst wäre, entgegen 39 Fol-
gerung 2 die relativ dichte Teilmenge planar geordnet. Somit gibt es
dann in der relativ dichten Teilmenge ein Ding z zwischen a, b, x,y;
also ist z. B.
z unter (bxy), über (xya), also
b über (xyz), a unter (xyz);