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I. Grundlagen der Arithmetik.
über (d, a, b), d. h. x zwischen a, b, e, d; sei zweitens x über (a, b, e),
so folgt x über (a, b, e), unter (b, e, c) = (b, d, c), über (e, c, a) = (d, c, a),
unter (d, a, b), d. h. x zwischen (a, b, e, c).
2) Aus a über (x, y, z), b nicht unter (x, y, z), c zwischen (a, b),
folgte über (x, y, z). Denn ist im speziellen Falle b auf (x, y, z) und
erstens (x, y,
z) (x, b, z), so folgt aus a über (x, y, z) = (x, b, y), x
unter (a, b, z) (c, b, z), also c über (x, b, z) = (x, y, z); ist zweitens
(x, y, z) (x,z,b), so folgt a über (x, y, z) = (x,z,b), x über (a, z,b) =
(c, z, b), c unter (x, z, b) = (x, y, z); ist drittens auf (x, z), nicht auf
=
(x, y), so ist entweder (x, y, z) (x, b, y) oder = (x, y, b) usw.; ist
viertens b auf (x, y) und (x, z), also, da (x, y) + (x, z), b = x, so folgt
aus a über (x, y, z), x über (a, y, z) = (c, x, y), c über (x, y, z). Im
allgemeinen Falle folgt aus a über (x, y, z), b über (x, y, z), daß (z. B.)
z nicht zwischen a, b, x, y, also nicht zwischen a, e, x, y, oder c, b, x, y.
Nun findet in jedem der acht möglichen Fälle:
=
=
b nicht über (unter) (a, x, y), nicht über (unter) (a, x, z), nicht
über (unter) (a, z, y) wenigstens jedesmal einer der durch Vertauschung
von x, y, z aus
B.)
z nicht über (a, b, x), nicht unter (a, b, y) hervorgehenden sechs
Fälle statt, und es folgt (z.
z nicht über (y, b, a) (y, c, a), nicht unter (b, a, x) = (c, a, x),
unter (a, x, y), also z unter (x, y, c), da sonst z zwischen (y, c, a, x)
folgen würde.
Beweis: Ist z. B.
35. Satz: Sind a, b, c, d, e fünf Dinge einer überplanar geordneten
Menge, deren keine vier einer planar geordneten Teilmenge angehören,
so liegt entweder eins oder keins der fünf Dinge zwischen den vier
andern.
C
d
e
a über bed, bde, bec, cde,
b
dca, eda, cea, edc,
abd, aeb, aed, bde,
acb, abe, ace, bec,
adb, abc, ade, bed,
29
=
""
=
22
22
so ist keins der fünf Dinge zwischen den vier andern. Ist aber z. B.
e zwischen abc, also:
so folgt:
e über abc, bde, cda, dba,
a über bec, bdc, ced, deb, usw.
also keins außer e zwischen den vier andern.