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I. Grundlagen der Arithmetik.
a<x<b
sind a vor b zwei Dinge der Menge, so existieren Dinge x, die den
Ordnungsbeziehungen a vor x vor b genügen.
20. Definition: Eine aus mindestens vier verschiedenen Dingen
bestehende Menge heißt „planar geordnet", wenn erstens durch je
zwei verschiedene Dinge, z. B. b, c, von ihr eine diese enthaltende linear
geordnete Teilmenge (b, c) + (c, b)*) der Menge eindeutig bestimmt
wird, und wenn zweitens zwischen jeder Teilmenge (b, c) und jedem ihr
nicht zugehörigen Dinge a eine und nur eine der beiden Ordnungs-
beziehungen:
a „rechts" (b, c) oder a „links“ (b, c)
und für diese der Grundsatz 21 besteht.
21. Grundsatz: Aus x rechts (a, b), nicht links**) (b, c), nicht
links (c, a) folgt: a rechts (b, c), b rechts (c, a), c rechts (a, b). Eben-
so bei Vertauschung von „rechts" mit „links".
22. Satz: Aus a rechts (b, c) folgt a links (c,b) und b rechts
(a, c), c rechts (a, b).
Beweis: Sei (b, c) (d, e) (d, b), d+b+c; a rechts (b, c),
nicht links (c, d), nicht links (d, b) gäbe (21): d rechts (b, c), gegen
20. Ferner folgt aus 21 für x = c (z. B.): Aus c rechts (a, b) folgt
a rechts (b, c), b rechts (c, a).
=
=
23. Definition: Ist a rechts (b, c) und x nicht links (b, c), nicht
links (c, a), nicht links (a, b), so heißt x,zwischen" (a, b, c) oder
zwischen (a, c, b); und zwar „uneigentlich", wenn x zur Teilmenge
(a, b) oder (b, c) oder (c, a) gehört, sonst „eigentlich".
Folgerungen: 1) Aus x zwischen (a, b, c), d nicht auf (a, x),
zwischen (b, c) folgt entweder x zwischen (a, b, d), oder zwischen
(a, d, c). Dies ist evident für auf (a, b) oder (c, a) oder (b, c)
(12 Folgerung 1). Also sei z. B. x rechts (a, b), (b, c), (c, a), rechts
(a, d), dann ist x rechts (a, d), rechts (d, c) = (b, c), rechts (c, a).
Ist aber x links (a, d), dann ist x rechts (a, b), rechts (b, d) = (b, c),
rechts (d, a).
2) Aus a rechts (x, y), b nicht links (x, y), c eigentlich zwischen
(a, b) folgt c rechts (x, y). Denn ist im speziellen Fall b auf (x, y),
und erstens (x, b) = (x, y), so folgt aus a rechts (xy), a rechts (xb),
x links (ab) = (cb), c rechts (xb) = (xy).
Ist zweitens (xb) = (yx),
*) d. h. die Teilmengen (b, c), (c, b) bestehen zwar aus denselben Dingen,
sollen aber als dem ,,Sinne" nach verschieden angesehen werden. Zwei Teil-
mengen (b, c), (b₁, e̟₁) sind daher identisch, wenn erstens b, c, Dinge von (b, c)
sind und zweitens mit b vor (nach) c zugleich b₁ vor (nach) c₁ ist.
**) d. h.,,rechts" oder „auf" (= zugehörig zu).