Geordnete Mengen. 9-19.
9
✓16. Definition: Eine linear geordnete Menge heißt „dicht“, wenn
(eigentlich) zwischen je zwei ungleichen Dingen der Menge ein Ding
der Menge liegt.
17. Definition: Eine Teilmenge m einer linear geordneten
Menge M heißt „relativ dicht"), wenn (eigentlich) zwischen je zwei
ungleichen Dingen der Menge M ein Ding der Menge m liegt.
Folgerungen: 1) Eine relativ dichte Teilmenge ist (absolut)
dicht, aber im allgemeinen nicht umgekehrt.
2) Eine relativ dichte Teilmenge einer linear geordneten Menge
besteht aus mindestens drei verschiedenen Dingen, ist also (14) eine
linear geordnete Menge. Denn ist die Teilmenge uneigentlich, so ist
der Satz evident; ist sie eigentlich und a vor b Dinge der Menge,
so existieren die Dinge a, ß, y der Teilmenge so, daß a zwischen a
und b, ẞ zwischen « und b, y zwischen ẞ und b; also a vor a vor ß
vor y vor b, a ‡ß + y + α.
18. Satz: In einer linear geordneten dichten Menge wird jedes
Ding durch seine Ordnungsbeziehungen zu sämtlichen Dingen einer
relativ dichten Teilmenge der Menge eindeutig bestimmt.
Beweis: Zwei ungleiche Dinge a, b der Menge können nicht in
den Ordnungsbeziehungen zu allen Dingen der Teilmenge überein-
stimmen; denn liegt z (eigentlich) zwischen a und b, so ist entweder:
a vor 2, b nach z, oder es ist: a nach z, b vor z.
19. Definition: Eine linear geordnete Menge heißt „stetig“,
wenn jedem mit 10 verträglichen System von nicht lauter gleich-
artigen**) Ordnungsbeziehungen eines Dinges zu allen Dingen einer
Teilmenge wenigstens ein Ding x der Menge entspricht.***)
Folgerung: Eine linear geordnete stetige Menge ist dicht; denn
*),,Pantachisch" bei P. Du Bois-Reymond, Die allgemeine Funktionen-
theorie. Erster Teil, Tübingen 1882, p. 182.
**) x vor a, nach b sind ungleichartig, x vor a, vor b gleichartig.
***) Diese Stetigkeit ist verschieden von derjenigen Dedekinds (vgl.
R. Dedekind, Stetigkeit und irrationale Zahlen. Braunschweig 1892. Was sind
und was sollen die Zahlen? Braunschweig 1903), welche die Meßbarkeit mit um-
faßt (vgl. O. Hölder, Die Axiome der Quantität und die Lehre vom Maß, Leipz.
Ber. Math. phys. Kl. 1901 p. 10), aber nicht, wie Schönflies meint (vgl. A. Schön-
flies, Transfinite Zahlen, das Axiom des Archimedes und die projektive Geometrie.
Jahresbericht der deutschen Mathematiker-Vereinigung Bd. V (1897) p. 76 oben),
mit ihr äquivalent ist. Dagegen stimmt die obige Definition der Stetigkeit
sachlich mit der von Veronese gegebenen überein (vgl. G. Veronese, Atti d.
R. Acc. d. Lincei, ser. 4, memoire d cl. d. sc. f. vol. 6, 1889, p. 612 Princ. IV.),
ist aber in der Form einfacher, was für ihre Ausdehnung auf planare und über-
planare Mengen (s. u.) wesentlich ist.